CP210-INTRODUZIONE alla Probabilità

1. Analisi Combinatoria. Introduzione al calcolo combinatorio: permutazioni,
combinazioni, esempi.
2. Assiomi della probabilit`a. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilit`a. Eventi equiprobabili e altri esempi.
3. Probabilit`a condizionata e indipendenza. Probabilit`a condizionata, formula di Bayes, eventi indipendenti.
4. Variabili aleatorie discrete. Variabili di Bernoulli, binomiali e di Poisson.
Processo di Poisson. Altre distribuzioni discrete: geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa. Valore atteso e varianza di una variabile discreta. Esempi.
5. Variabili aleatorie continue. Densit`a di probabilit`a e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, gaussiana, weibull, Cauchy. Legame tra distribuzioni gamma e processo di Poisson.
Valore atteso e varianza per variabili continue. Metodo della trasformazione per
la simulazione di variabili aleatorie continue.
6. Distribuzioni congiunte e variabili aleatorie indipendenti. Distribuzioni
congiunte, variabili aleatorie indipendenti. Densit`a della somma di due variabili indipendenti. Prodotto di convoluzione per distribuzioni normali, gamma, Poisson.
Massimi e minimi di variabili indipendenti.
7. Teoremi limite. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi
numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del
Teorema del limite centrale.

nozioni elementari di analisi matematica e combinatoria

Sheldon M. Ross, Calcolo delle Probabilit`a. Apogeo, (2007)
F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilit`a. Springer, (2013).

Sheldon M. Ross, Calcolo delle Probabilit`a. Apogeo, (2007)
F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilit`a. Springer, (2013).

Lezioni alla lavagna

6 ore settimanali

Prova scritta e colloquio orale

Analisi Combinatoria. Introduzione al calcolo combinatorio: permutazioni, combinazioni, esempi. Assiomi della probabilita'. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilita'. Eventi equiprobabili e altri esempi. Probabilita' condizionata e indipendenza, formula di Bayes. Variabili aleatorie discrete: Bernoulli, binomiali, Poisson, geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa. Valore atteso e varianza di una variabile discreta.
Variabili aleatorie continue. Densita' di probabilita' e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, gaussiana, weibull, Cauchy. Valore atteso e varianza per variabili continue. Variabili indipendenti e leggi congiunte. Prodotto di convoluzione per distribuzioni normali, gamma. Legame tra distribuzione esponenziale e distribuzione di Poisson. Processo di Poisson. Massimi e minimi di variabili indipendenti.
Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del Teorema del limite centrale.

Preferibilmente AM110 e AM120.

- S. Ross, Calcolo delle probabilita' (Apogeo Ed.)
- F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)

- S. Ross, Calcolo delle probabilita' (Apogeo Ed.)
- F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)

Preferibilmente in presenza

Preferibilmente in presenza

La prova scritta consiste prevalentemente di esercizi, ma possono esserci alcune domande di teoria (sentire il docente di riferimento per i dettagli).

1. Analisi Combinatoria. Introduzione al calcolo combinatorio: permutazioni,
combinazioni, esempi.
2. Assiomi della probabilit`a. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilit`a. Eventi equiprobabili e altri esempi.
3. Probabilit`a condizionata e indipendenza. Probabilit`a condizionata, formula di Bayes, eventi indipendenti.
4. Variabili aleatorie discrete. Variabili di Bernoulli, binomiali e di Poisson.
Processo di Poisson. Altre distribuzioni discrete: geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa. Valore atteso e varianza di una variabile discreta. Esempi.
5. Variabili aleatorie continue. Densit`a di probabilit`a e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, gaussiana, weibull, Cauchy. Legame tra distribuzioni gamma e processo di Poisson.
Valore atteso e varianza per variabili continue. Metodo della trasformazione per
la simulazione di variabili aleatorie continue.
6. Distribuzioni congiunte e variabili aleatorie indipendenti. Distribuzioni
congiunte, variabili aleatorie indipendenti. Densit`a della somma di due variabili indipendenti. Prodotto di convoluzione per distribuzioni normali, gamma, Poisson.
Massimi e minimi di variabili indipendenti.
7. Teoremi limite. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi
numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del
Teorema del limite centrale.

nozioni elementari di analisi matematica e combinatoria

Sheldon M. Ross, Calcolo delle Probabilit`a. Apogeo, (2007)
F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilit`a. Springer, (2013).

Sheldon M. Ross, Calcolo delle Probabilit`a. Apogeo, (2007)
F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilit`a. Springer, (2013).

Lezioni alla lavagna

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Prova scritta e colloquio orale

Analisi Combinatoria. Introduzione al calcolo combinatorio: permutazioni, combinazioni, esempi. Assiomi della probabilita'. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilita'. Eventi equiprobabili e altri esempi. Probabilita' condizionata e indipendenza, formula di Bayes. Variabili aleatorie discrete: Bernoulli, binomiali, Poisson, geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa. Valore atteso e varianza di una variabile discreta.
Variabili aleatorie continue. Densita' di probabilita' e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, gaussiana, weibull, Cauchy. Valore atteso e varianza per variabili continue. Variabili indipendenti e leggi congiunte. Prodotto di convoluzione per distribuzioni normali, gamma. Legame tra distribuzione esponenziale e distribuzione di Poisson. Processo di Poisson. Massimi e minimi di variabili indipendenti.
Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del Teorema del limite centrale.

Preferibilmente AM110 e AM120.

- S. Ross, Calcolo delle probabilita' (Apogeo Ed.)
- F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)

- S. Ross, Calcolo delle probabilita' (Apogeo Ed.)
- F. Caravenna e P. Dai Pra, Probabilita' (Springer Ed.)

Preferibilmente in presenza

Preferibilmente in presenza

La prova scritta consiste prevalentemente di esercizi, ma possono esserci alcune domande di teoria (sentire il docente di riferimento per i dettagli).