Elementi di Relatività Generale, Astrofisica e Cosmologia

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§I. Introduzione: inerzia e covarianza

Relatività Galileiana e Relatività Speciale. Il principio di equivalenza. Motivazioni per la covarianza generale. Sistemi inerziali locali.

§II. Spaziotempo dinamico: fondamenti della Relatività Generale

Coordinate curvilinee. Vettori e tensori sotto trasformazioni generali di coordinate. Trasporto parallelo e simboli di Christoffel. Derivate covarianti e compatibilità metrica. Vettori covariantemente conservati e densità vettoriali conservate. Trasformazione dei simboli di Christoffel. Il teorema di Ricci. Geodetiche e loro limite newtoniano. Curve tipo-spazio, tipo-tempo e tipo-luce. Coordinate normali e sistemi inerziali locali. Derivazione covariante lungo una curva. Tensore di curvatura di Riemann. Proprietà algebriche. Identità Bianchi. Sistemi inerziali locali. Caratterizzazione degli spazi piatti. Deviazione geodetica. Azione di Einstein-Hilbert ed equazioni del moto. L'identità di Palatini. Costante cosmologica. Accoppiamento a materia non dinamica: identità di Bianchi contratta, tensore energia impulso della materia e conservazione covariante. Accoppiamento minimale a campi scalari ed elettromagnetici.

§III. Approssimazione lineare e onde gravitazionali

Motivazioni. Fluttuazioni dello spazio-tempo piatto: tensore di Riemann linearizzato e sua invarianza di gauge abeliana. Equazioni del moto: gauge di de Donder e onde gravitazionali. Confronto con la teoria di Maxwell.

§IV. Isometrie e spazi massimamente simmetrici

Simmetrie di tensori: invarianza di forma. Equazioni di Killing. Condizione di integrabilità e numero massimo di isometrie. La derivata di Lie. Vettori di Killing e leggi di conservazione. L'esempio dello spazio di Minkowski. Isometrie traslazionali.

§V. La soluzione di Schwarschild

Metrica di Schwarzschild. Simmetria sferica e teorema di Birkhoff (senza dimostrazione). Vettori di Killing della metrica di Schwarzschild. Redshift gravitazionale.

Relatività Speciale. Elettromagnetismo.

- Susskind L, Cabannes - Relatività Generale, (Raffaello Cortina Editore, 2024)

Altri testi consigliati:
- Rovelli C, Relatività Generale, (Adelphi, 2021).

Lezioni frontali alla lavagna

In presenza. Per studenti lavoratori è prevista la partecipazione a distanza nonché la messa a disposizione delle registrazioni, per un periodo di una settimana a decorrere dallo svolgimento della lezione.

Prove in itinere: due esoneri, ciascuno della durata di un'ora, con domande a risposta aperta. Il primo esonero viene proposto a metà corso, il secondo successivamente al completamento del programma. Gli esoneri simulano in forma scritta lo svolgimento di un esame orale. Le domande sono formulate per punti, così da consentire agli studenti di sviluppare la loro risposta anche in assenza del feedback del docente. Vengono aggiunte domande segnalate come opzionali pensate per consentire per gli studenti di migliorare il livello degli elaborati. La valutazione dei compiti prevede una griglia di punteggio assegnata ad ogni punto, ma resta libera la discrezione del docente di valutare aspetti complessivi degli elaborati quali la padronanza complessiva della materia, la coerenza e la completezza del discorso, l'accuratezza del linguaggio e così via. Con la sufficienza ad entrambi gli esoneri si è esentati dalla prova orale per la parte di Relatività Generale

Esami orali: una domanda relativa alla parte di Relatività Generale

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§I. Introduzione: inerzia e covarianza

Relatività Galileiana e Relatività Speciale. Il principio di equivalenza. Motivazioni per la covarianza generale. Sistemi inerziali locali.

§II. Spaziotempo dinamico: fondamenti della Relatività Generale

Coordinate curvilinee. Vettori e tensori sotto trasformazioni generali di coordinate. Trasporto parallelo e simboli di Christoffel. Derivate covarianti e compatibilità metrica. Vettori covariantemente conservati e densità vettoriali conservate. Trasformazione dei simboli di Christoffel. Il teorema di Ricci. Geodetiche e loro limite newtoniano. Curve tipo-spazio, tipo-tempo e tipo-luce. Coordinate normali e sistemi inerziali locali. Derivazione covariante lungo una curva. Tensore di curvatura di Riemann. Proprietà algebriche. Identità Bianchi. Sistemi inerziali locali. Caratterizzazione degli spazi piatti. Deviazione geodetica. Azione di Einstein-Hilbert ed equazioni del moto. L'identità di Palatini. Costante cosmologica. Accoppiamento a materia non dinamica: identità di Bianchi contratta, tensore energia impulso della materia e conservazione covariante. Accoppiamento minimale a campi scalari ed elettromagnetici.

§III. Approssimazione lineare e onde gravitazionali

Motivazioni. Fluttuazioni dello spazio-tempo piatto: tensore di Riemann linearizzato e sua invarianza di gauge abeliana. Equazioni del moto: gauge di de Donder e onde gravitazionali. Confronto con la teoria di Maxwell.

§IV. Isometrie e spazi massimamente simmetrici

Simmetrie di tensori: invarianza di forma. Equazioni di Killing. Condizione di integrabilità e numero massimo di isometrie. La derivata di Lie. Vettori di Killing e leggi di conservazione. L'esempio dello spazio di Minkowski. Isometrie traslazionali.

§V. La soluzione di Schwarschild

Metrica di Schwarzschild. Simmetria sferica e teorema di Birkhoff (senza dimostrazione). Vettori di Killing della metrica di Schwarzschild. Redshift gravitazionale.

Relatività Speciale. Elettromagnetismo.

- Susskind L, Cabannes - Relatività Generale, (Raffaello Cortina Editore, 2024)

Altri testi consigliati:
- Rovelli C, Relatività Generale, (Adelphi, 2021).

Lezioni frontali alla lavagna

In presenza. Per studenti lavoratori è prevista la partecipazione a distanza nonché la messa a disposizione delle registrazioni, per un periodo di una settimana a decorrere dallo svolgimento della lezione.

Prove in itinere: due esoneri, ciascuno della durata di un'ora, con domande a risposta aperta. Il primo esonero viene proposto a metà corso, il secondo successivamente al completamento del programma. Gli esoneri simulano in forma scritta lo svolgimento di un esame orale. Le domande sono formulate per punti, così da consentire agli studenti di sviluppare la loro risposta anche in assenza del feedback del docente. Vengono aggiunte domande segnalate come opzionali pensate per consentire per gli studenti di migliorare il livello degli elaborati. La valutazione dei compiti prevede una griglia di punteggio assegnata ad ogni punto, ma resta libera la discrezione del docente di valutare aspetti complessivi degli elaborati quali la padronanza complessiva della materia, la coerenza e la completezza del discorso, l'accuratezza del linguaggio e così via. Con la sufficienza ad entrambi gli esoneri si è esentati dalla prova orale per la parte di Relatività Generale

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§II. Spaziotempo dinamico: fondamenti della Relatività Generale

Coordinate curvilinee. Vettori e tensori sotto trasformazioni generali di coordinate. Trasporto parallelo e simboli di Christoffel. Derivate covarianti e compatibilità metrica. Vettori covariantemente conservati e densità vettoriali conservate. Trasformazione dei simboli di Christoffel. Il teorema di Ricci. Geodetiche e loro limite newtoniano. Curve tipo-spazio, tipo-tempo e tipo-luce. Coordinate normali e sistemi inerziali locali. Derivazione covariante lungo una curva. Tensore di curvatura di Riemann. Proprietà algebriche. Identità Bianchi. Sistemi inerziali locali. Caratterizzazione degli spazi piatti. Deviazione geodetica. Azione di Einstein-Hilbert ed equazioni del moto. L'identità di Palatini. Costante cosmologica. Accoppiamento a materia non dinamica: identità di Bianchi contratta, tensore energia impulso della materia e conservazione covariante. Accoppiamento minimale a campi scalari ed elettromagnetici.

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Motivazioni. Fluttuazioni dello spazio-tempo piatto: tensore di Riemann linearizzato e sua invarianza di gauge abeliana. Equazioni del moto: gauge di de Donder e onde gravitazionali. Confronto con la teoria di Maxwell.

§IV. Isometrie e spazi massimamente simmetrici

Simmetrie di tensori: invarianza di forma. Equazioni di Killing. Condizione di integrabilità e numero massimo di isometrie. La derivata di Lie. Vettori di Killing e leggi di conservazione. L'esempio dello spazio di Minkowski. Isometrie traslazionali.

§V. La soluzione di Schwarschild

Metrica di Schwarzschild. Simmetria sferica e teorema di Birkhoff (senza dimostrazione). Vettori di Killing della metrica di Schwarzschild. Redshift gravitazionale.

Relatività Speciale. Elettromagnetismo.

- Susskind L, Cabannes - Relatività Generale, (Raffaello Cortina Editore, 2024)

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- Rovelli C, Relatività Generale, (Adelphi, 2021).

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In presenza. Per studenti lavoratori è prevista la partecipazione a distanza nonché la messa a disposizione delle registrazioni, per un periodo di una settimana a decorrere dallo svolgimento della lezione.

Prove in itinere: due esoneri, ciascuno della durata di un'ora, con domande a risposta aperta. Il primo esonero viene proposto a metà corso, il secondo successivamente al completamento del programma. Gli esoneri simulano in forma scritta lo svolgimento di un esame orale. Le domande sono formulate per punti, così da consentire agli studenti di sviluppare la loro risposta anche in assenza del feedback del docente. Vengono aggiunte domande segnalate come opzionali pensate per consentire per gli studenti di migliorare il livello degli elaborati. La valutazione dei compiti prevede una griglia di punteggio assegnata ad ogni punto, ma resta libera la discrezione del docente di valutare aspetti complessivi degli elaborati quali la padronanza complessiva della materia, la coerenza e la completezza del discorso, l'accuratezza del linguaggio e così via. Con la sufficienza ad entrambi gli esoneri si è esentati dalla prova orale per la parte di Relatività Generale

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Coordinate curvilinee. Vettori e tensori sotto trasformazioni generali di coordinate. Trasporto parallelo e simboli di Christoffel. Derivate covarianti e compatibilità metrica. Vettori covariantemente conservati e densità vettoriali conservate. Trasformazione dei simboli di Christoffel. Il teorema di Ricci. Geodetiche e loro limite newtoniano. Curve tipo-spazio, tipo-tempo e tipo-luce. Coordinate normali e sistemi inerziali locali. Derivazione covariante lungo una curva. Tensore di curvatura di Riemann. Proprietà algebriche. Identità Bianchi. Sistemi inerziali locali. Caratterizzazione degli spazi piatti. Deviazione geodetica. Azione di Einstein-Hilbert ed equazioni del moto. L'identità di Palatini. Costante cosmologica. Accoppiamento a materia non dinamica: identità di Bianchi contratta, tensore energia impulso della materia e conservazione covariante. Accoppiamento minimale a campi scalari ed elettromagnetici.

§III. Approssimazione lineare e onde gravitazionali

Motivazioni. Fluttuazioni dello spazio-tempo piatto: tensore di Riemann linearizzato e sua invarianza di gauge abeliana. Equazioni del moto: gauge di de Donder e onde gravitazionali. Confronto con la teoria di Maxwell.

§IV. Isometrie e spazi massimamente simmetrici

Simmetrie di tensori: invarianza di forma. Equazioni di Killing. Condizione di integrabilità e numero massimo di isometrie. La derivata di Lie. Vettori di Killing e leggi di conservazione. L'esempio dello spazio di Minkowski. Isometrie traslazionali.

§V. La soluzione di Schwarschild

Metrica di Schwarzschild. Simmetria sferica e teorema di Birkhoff (senza dimostrazione). Vettori di Killing della metrica di Schwarzschild. Redshift gravitazionale.

Relatività Speciale. Elettromagnetismo.

- Susskind L, Cabannes - Relatività Generale, (Raffaello Cortina Editore, 2024)

Altri testi consigliati:
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In presenza. Per studenti lavoratori è prevista la partecipazione a distanza nonché la messa a disposizione delle registrazioni, per un periodo di una settimana a decorrere dallo svolgimento della lezione.

Prove in itinere: due esoneri, ciascuno della durata di un'ora, con domande a risposta aperta. Il primo esonero viene proposto a metà corso, il secondo successivamente al completamento del programma. Gli esoneri simulano in forma scritta lo svolgimento di un esame orale. Le domande sono formulate per punti, così da consentire agli studenti di sviluppare la loro risposta anche in assenza del feedback del docente. Vengono aggiunte domande segnalate come opzionali pensate per consentire per gli studenti di migliorare il livello degli elaborati. La valutazione dei compiti prevede una griglia di punteggio assegnata ad ogni punto, ma resta libera la discrezione del docente di valutare aspetti complessivi degli elaborati quali la padronanza complessiva della materia, la coerenza e la completezza del discorso, l'accuratezza del linguaggio e così via. Con la sufficienza ad entrambi gli esoneri si è esentati dalla prova orale per la parte di Relatività Generale

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Coordinate curvilinee. Vettori e tensori sotto trasformazioni generali di coordinate. Trasporto parallelo e simboli di Christoffel. Derivate covarianti e compatibilità metrica. Vettori covariantemente conservati e densità vettoriali conservate. Trasformazione dei simboli di Christoffel. Il teorema di Ricci. Geodetiche e loro limite newtoniano. Curve tipo-spazio, tipo-tempo e tipo-luce. Coordinate normali e sistemi inerziali locali. Derivazione covariante lungo una curva. Tensore di curvatura di Riemann. Proprietà algebriche. Identità Bianchi. Sistemi inerziali locali. Caratterizzazione degli spazi piatti. Deviazione geodetica. Azione di Einstein-Hilbert ed equazioni del moto. L'identità di Palatini. Costante cosmologica. Accoppiamento a materia non dinamica: identità di Bianchi contratta, tensore energia impulso della materia e conservazione covariante. Accoppiamento minimale a campi scalari ed elettromagnetici.

§III. Approssimazione lineare e onde gravitazionali

Motivazioni. Fluttuazioni dello spazio-tempo piatto: tensore di Riemann linearizzato e sua invarianza di gauge abeliana. Equazioni del moto: gauge di de Donder e onde gravitazionali. Confronto con la teoria di Maxwell.

§IV. Isometrie e spazi massimamente simmetrici

Simmetrie di tensori: invarianza di forma. Equazioni di Killing. Condizione di integrabilità e numero massimo di isometrie. La derivata di Lie. Vettori di Killing e leggi di conservazione. L'esempio dello spazio di Minkowski. Isometrie traslazionali.

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Metrica di Schwarzschild. Simmetria sferica e teorema di Birkhoff (senza dimostrazione). Vettori di Killing della metrica di Schwarzschild. Redshift gravitazionale.

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In presenza. Per studenti lavoratori è prevista la partecipazione a distanza nonché la messa a disposizione delle registrazioni, per un periodo di una settimana a decorrere dallo svolgimento della lezione.

Prove in itinere: due esoneri, ciascuno della durata di un'ora, con domande a risposta aperta. Il primo esonero viene proposto a metà corso, il secondo successivamente al completamento del programma. Gli esoneri simulano in forma scritta lo svolgimento di un esame orale. Le domande sono formulate per punti, così da consentire agli studenti di sviluppare la loro risposta anche in assenza del feedback del docente. Vengono aggiunte domande segnalate come opzionali pensate per consentire per gli studenti di migliorare il livello degli elaborati. La valutazione dei compiti prevede una griglia di punteggio assegnata ad ogni punto, ma resta libera la discrezione del docente di valutare aspetti complessivi degli elaborati quali la padronanza complessiva della materia, la coerenza e la completezza del discorso, l'accuratezza del linguaggio e così via. Con la sufficienza ad entrambi gli esoneri si è esentati dalla prova orale per la parte di Relatività Generale

Esami orali: una domanda relativa alla parte di Relatività Generale