Matematica Generale

Logica, insiemi ed insiemi numerici
· Logica proposizionale ed insiemistica: proposizioni, connettivi logici, teoremi, Condizioni Necessarie, Condizioni Sufficienti. Dimostrazione diretta, dimostrazione per assurdo, controesempi.
· Numeri e insiemi numerici: sottoinsieme, sottoinsieme proprio, insieme delle parti; operazioni tra insiemi (unione, intersezione, differenza, complementare) e loro proprietà, insiemi disgiunti, prodotto cartesiano. Insieme dei numeri naturali, insieme dei numeri interi relativi, insieme dei numeri razionali. Teorema dell’irrazionalità di radice di 2 (c.d.), numeri irrazionali, numeri reali. Rappresentazione geometrica dei reali, relazioni d’ordine, insieme ordinato. Insiemi limitati e insiemi illimitati: maggioranti e minoranti di un insieme, estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme, massimi e minimi di un insieme. Intervalli reali. Intorni. Punti di accumulazione, punti isolati, punti interni e punti di frontiera. Insieme aperto e insieme chiuso.
· Sommatoria e produttoria: Sommatoria, somma dei primi n numeri interi (Gauss), progressione geometrica somma geometrica. Produttoria e fattoriale.
Funzioni reali di una variabile reale
· Generalità: Definizione di funzione, dominio e immagine. Funzioni reali di variabile reale. Grafico di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e corrispondenze biunivoche. Funzioni simmetriche (pari e dispari). Funzioni monotone. Funzioni elementari: lineare affine, potenza e suo reciproco, radici di indice pari e di indice dispari, esponenziale e logaritmo. Operazioni sui grafici. Funzione modulo, funzioni definite a tratti, funzioni composte e inverse. Funzioni invertibili. Calcolo del dominio di una funzione. Teorema sulla relazione tra funzioni monotone e funzioni invertibili (d. fac.). Esempi di applicazioni economiche.
· Limiti, continuità e discontinuità: Le quattro definizioni di limite (finito al finito, finito all’infinito, infinito al finito, infinito all’infinito). Asintoti: verticali, orizzontali, obliqui. Verifiche di limite. Teorema di unicità del limite (c.d.), Teorema di permanenza del segno in forma diretta (c.d.), Teorema di permanenza del segno in forma inversa. Teorema del confronto (c.d.). Calcolo dei limiti in punti interni del dominio, all’infinito o sui punti di frontiera del dominio. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Infinitesimi e infiniti: Definizione di infinitesimo. Confronto tra infinitesimi, infinitesimo campione, ordine di infinitesimo. Operazioni tra infinitesimi. Teorema cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore (d. fac.). Definizione di infinito. Confronto tra infiniti, infinito campione, ordine di infinito. Operazioni tra infiniti. Teorema cancellazione degli ordini di infiniti di ordine inferiore (d. fac.). Continuità: definizioni, teoremi sulle operazioni razionali funzioni continue (c.d.), continuità funzione composta (c.d.), Punti di discontinuità, Continuita e invertibilità. Massimi e minimi di una funzione, Teorema di Weierstrass, teorema degli zeri d una funzione continua, teorema di Darboux.
Calcolo differenziale: definizione di derivata. Significato geometrico. Punti di non derivabilità. Derivate delle funzioni elementari. Algebra delle derivate. Derivate di ordine superiore al primo. Teoremi sulle derivate: Teo della Derivata funzione composta (d. fac.), teorema della Derivata funzione inversa (d. fac.). Teorema di de l’Hospital (d. fac.). Individuazione dei punti di non derivabilità. Differenziale: Definizione e significato geometrico. Teorema del resto del primo ordine (d. fac.). Polinomio di Taylor. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (c.d.). Teorema di Rolle (c.d.). Teorema di Lagrange (c.d). Corollari del teorema di Lagrange (d.fac.). Convessità, concavità. Punti di flesso. Studio di una funzione. Grafico della funzione.
Calcolo integrale : integrale indefinito: definizione di primitiva, proprietà delle primitive, definizione di integrale indefinito, proprietà, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Integrale definito: definizione, proprietà, teorema della media integrale, funzione integrale, teorema di Torricelli- Barrow (c.d.), corollario

Algebra lineare : vettori in R^n, operazioni tra vettori, combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza lineare. Matrici, operazioni tra matrici, prodotto righe per colonne, matrici particolari, matrice trasposta, determinante, rango. Equazioni lineari, sistemi di equazioni lineari, teorema di Cramer, teorema di Rouchè-Capelli, sistemi omogenei, sistemi parametrici

(c.d.) = “con dimostrazione)
(d. fac.)= dimostrazione facoltativa

Prerequisiti:
Polinomi, scomposizioni, frazioni algebriche. Equazioni di primo e secondo grado. Equazioni di grado superiore al secondo. Disequazioni di primo e secondo grado. Disequazioni di grado superiore al secondo. Sistemi di equazioni e disequazioni. Equazione e disequazioni razionali. Equazioni e disequazioni irrazionali. Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche.

1)Dispense date dal docente su piattaforma Moodle
2)Testo per esercizi :
Mastroeni-Mazzoccoli-Vellucci
Esercizi di Matematica Generale
Esculapio Editore

.

Lezioni frontali con esercitazioni

fortemente consigliata

Prova scritta e prova orale

PROGRAMMA
Logica, insiemi ed insiemi numerici
• Logica proposizionale ed insiemistica: Proposizioni. Operazioni logiche con le proposizioni. Implicazione logica. Insiemi. Operazioni con gli insiemi. Prodotto cartesiano. Applicazioni. Applicazioni iniettive e suriettive. Corrispondenza biunivoca. Applicazione inversa.
• Numeri e insiemi numerici: Numeri naturali. Numeri interi o relativi. Numeri razionali. (c.d.). Numeri reali e rappresentazione sulla retta. Insiemi limitati e non limitati. Estremo superiore ed inferiore di insiemi di numeri razionali e reali. Intervalli e intorni. Punti di accumulazione, interni, isolati e di frontiera. Insiemi aperti e insiemi chiusi.
• Sommatoria e produttoria: Definizione di sommatoria. Proprietà. Somme particolari. Somma dei primi n naturali. Progressioni aritmetiche e geometriche e somma dei loro primi n termini. Fattoriale.
Funzioni reali di una variabile reale
• Generalità: Funzioni reali di variabile reale. Definizione di successione numerica. Il piano cartesiano e il grafico di una funzione. Funzioni iniettive e suriettive e grafico. Funzioni pari e dispari. Crescenza e decrescenza e funzioni monotone in un intervallo. Concavità e convessità in un intervallo. Funzioni limitate. Funzione composta. Funzione inversa, monotonia e invertibilità, grafico della funzione inversa. Funzioni elementari. Funzioni a più leggi. Operazioni sui grafici. Ricerca del dominio di una funzione.
• Limiti: Definizione di limite al finito e all’infinito. Convergenza e divergenza. Limite destro e limite sinistro. Asintoti verticali e orizzontali. Teorema di unicità del limite (c.d.). Teorema di permanenza del segno in forma diretta e inversa (c.d.). Teorema del confronto. Verifiche di limiti. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli.
• Infinitesimi e infiniti.: Definizione di infinitesimo e infinito. Confronto fra infinitesimi e fra infiniti. Ordine di infinitesimo ed infinito. Teorema di cancellazione (c.d.). Propagazione dell’ordine.
• Continuità e discontinuità: Definizione di continuità in un punto. Continuità in un intervallo. Limiti e continuità. Classificazione dei punti di discontinuità. Continuità delle funzioni razionali. Continuità dell'inversa. Continuità delle funzioni composte. Teorema degli zeri (c.d.). Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux (c.d).
• Calcolo differenziale: Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico. Derivabilità e continuità (c.d.). Punti di non derivabilità. Funzione derivata e derivate di ordine successivo. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivata di funzioni composte. Derivata della funzione inversa. Differenziale. Approssimazione locale del primo ordine. Teorema del resto (c.d.). Polinomio di Taylor e di Mc Laurin. Approssimazioni di ordine superiore. Punti stazionari. Massimi e minimi locali. Condizioni necessarie del prim’ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali o teorema di Fermat (c.d.). Teorema di Rolle (c.d.). Teorema di Lagrange (c.d.). Corollari al teorema di Lagrange: Funzioni a derivata nulla (c.d.). Relazioni tra la monotonia e la derivata (c.d.). Concavità e convessità globale e in un punto. Relazione fra la derivata seconda e la concavità (c.d.). Punti di flesso. Condizioni sufficienti del second’ordine per l’esistenza di massimi e minimi relativi (c.d.). Condizioni sufficienti di ordine n per l’esistenza di massimi e minimi relativi o flessi (c.d). Teorema di De L'Hôpital e applicazione al calcolo di limite.
• Grafico della funzione: Rappresentazione del grafico di una funzione sul piano cartesiano. Asintoti obliqui.
Calcolo integrale
Funzioni primitive. Integrale indefinito. Caratterizzazione dell’insieme delle primitive (c.d.). Proprietà dell'integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione per parti (c.d.). Integrazione per sostituzione (c.d). Integrale definito. Proprietà dell'integrale definito. Funzione integrale. Teorema della media (c.d.). Teorema di Torricelli-Barrow o teorema fondamentale del calcolo integrale (c.d.). Corollario al teorema di Torricelli-Barrow: relazione fra l’integrale definito e l’integrale indefinito (c.d.). Integrazione definita.
Algebra lineare
Vettori e spazi vettoriali. Rappresentazione geometrica dei vettori. Prodotto di un vettore per uno scalare. Somma di vettori. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Rango di un insieme di vettori. Matrici. Operazioni con le matrici. Prodotto righe per colonne. Matrici particolari. Matrice trasposta. Determinante di una matrice di ordine n. Proprietà del determinante. Caratteristica o rango di una matrice. Rango e dipendenza lineare. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Sistemi parametrici.

(c.d.) = “con dimostrazione”

Polinomi, scomposizioni, frazioni algebriche. Equazioni di primo e secondo grado. Equazioni di grado superiore al secondo. Disequazioni di primo e secondo grado. Disequazioni di grado superiore al secondo. Sistemi di equazioni e disequazioni. Equazione e disequazioni razionali. Equazioni e disequazioni irrazionali. Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche. Cenni di geometria analitica: retta, parabola, iperbole.

Materiale consigliato per i prerequisiti: Precorso di Matematica sulla piattaforma MOOC del Dipartimento di Economia: https://mooc.el.uniroma3.it/

• Materiale scaricabile dal corso presente sulla piattaforma Moodle del Dipartimento di Economia: https://economia.el.uniroma3.it

Lezione frontale. Esercitazioni. Uso della lavagna grafica e registrazioni delle lezioni disponibili dopo la fine del corso

Frequenza non obbligatoria ma fortemente consigliata

L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale. La prova scritta sarà composta da esercizi, domande di tipo Vero/Falso con breve motivazione, domande teoriche riguardanti tutto il programma del corso. Il superamento della prova scritta è subordinato al corretto svolgimento di un test preliminare relativo ai prerequisiti che si terrà il giorno della prova scritta. La prova orale è consigliata solo a chi superi lo scritto con almeno 15/30 e consisterà in una o più domande su tutto il programma comprese le dimostrazioni dei risultati indicati nel programma con “(c.d.)”.