Istituzioni di Matematiche 2

Insiemi di punti nel piano e nello spazio tridimensionale. Spazio vettoriale a due e tre dimensioni. Vettori e versori. Prodotto scalare, vettoriale e misto con il loro significato geometrico. Matrici e determinanti.

Equazione parametrica e cartesiana di un piano. Equazione parametrica e cartesiana di una retta nello spazio. Distanza di un punto da una retta. Distanza tra due rette. Intersezioni tra rette e piani. Rette incidenti, parallele, sghembe.

Superfici quadriche. Cilindri, coni, ellissoidi, paraboloidi e iperboloidi. Curve di livello e sezioni. Superfici rigate.

Funzioni vettoriali e curve parametriche. Esempi di curve parametriche: rette, coniche, spirali e cicloidi. Versore tangente, normale e binormale ad una curva. Formule di Frenet. Curvatura e torsione. Curve su superfici. Elica cilindrica.

Funzioni di due variabili. Dominio di definizione. Grafico. Curve di livello e sezioni. Limiti e continuità per funzioni di due variabili. Derivate parziali. Piano tangente in un punto al grafico di una funzione di due variabili. Derivata direzionale. Differenziabilità. Gradiente di una funzione di due variabili. Proprietà geometriche. Direzione di massima pendenza. Derivate di ordine superiore. Studio dei punti critici di una funzione di due variabili. La matrice delle derivate seconde ed il suo determinante Hessiano. Massimi, minimi e punti di sella.

Visualizzazione di curve e superfici utilizzando il software Mathematica o Python.

Un argomento da sviluppare autonomamente dalla lettura di alcuni testi consigliati.

Programma svolto nel corso di Istituzioni di matematiche 1 (corso propedeutico): calcolo differenziale e integrale in una variabile, primi elementi di algebra lineare in R^2.

R. Adams “Calcolo Differenziale 2, (funzioni di più variabili)”, quarta edizione, ed. casa editrice Ambrosiana

oppure un testo universitario a scelta, ad esempio:

Bramanti-Pagani-Salsa: "Calcolo infinitesimale e algebra lineare", Seconda edizione, ed. Zanichelli

Courant, Robbins, “Che cos’è la matematica”, Bollati Boringhieri, 2000

“Le curve celebri” (almeno l’introduzione e un paragrafo tratto dai capitoli 1-6) di Luciano Cresci

“Flussi e riflussi” di Lucio Russo

Alcune voci matematiche nell’Enciclopedia Treccani

L’America dimenticata. I rapporti tra le civiltà e un errore di Tolomeo, di Lucio Russo

Il corso si compone di lezioni frontali ed esercitazioni, anche con l’uso del computer.

Nelle ore dedicate alle esercitazioni il docente propone alcuni esercizi e problemi, gli studenti hanno del tempo per risolverli da soli, poi si passa ad una discussione in aula, e infine, se necessario, il docente espone la soluzione per esteso alla lavagna.

Alcune lezioni prevedono l'uso del computer da parte degli studenti per la visualizzazione di curve e superfici.

La frequenza del corso è obbligatoria per il 75% delle ore

La valutazione prevede una prova scritta ed una prova orale. Sono previste prove in itinere.

La prova scritta consiste di quesiti la cui risoluzione è finalizzata a verificare il livello di comprensione effettiva dei concetti e la capacità degli studenti di applicarli in autonomia.

PROGRAMMA
Geometria analitica e algebra lineare nello spazio.
Insiemi di punti nel piano e nello spazio tridimensionale. Spazio vettoriale tridimensionale. Vettori e versori. Prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto, con particolare attenzione al loro significato geometrico. Matrici e determinanti. Equazioni parametriche e cartesiane di piani e rette nello spazio. Distanza di un punto da una retta e distanza tra due rette. Intersezioni tra rette e piani. Rette incidenti, parallele e sghembe.
Coniche e superfici.
Coniche nel piano e loro classificazione mediante gli invarianti. Superfici quadriche: cilindri, coni, ellissoidi, paraboloidi e iperboloidi. Curve di livello e sezioni. Determinazione e studio di una superficie attraverso le sue sezioni. Superfici rigate.
Funzioni di più variabili.
Funzioni di due variabili: dominio di definizione e rappresentazione grafica. Curve di livello e sezioni. Limiti e continuità. Derivate parziali e derivate direzionali. Piano tangente al grafico di una funzione di due variabili. Differenziabilità e gradiente. Interpretazione e proprietà geometriche del gradiente, con particolare riferimento alla direzione di massima pendenza. Derivate parziali di ordine superiore. Studio dei punti critici di una funzione di due variabili. Matrice Hessiana e determinante Hessiano. Massimi e minimi locali, punti di sella.
Integrali multipli.
Integrali di funzioni di due variabili. Domini semplici e rappresentazione mediante integrali iterati.
Curve nello spazio.
Curve parametriche. Esempi di curve parametriche: rette, coniche, spirali e cicloidi. Versori tangente, normale e binormale. Formule di Frenet. Curvatura e torsione. Curve su superfici. Elica cilindrica.
Approfondimento individuale.
Sviluppo autonomo di un argomento concordato con il docente.

Programma svolto nel corso di Istituzioni di matematiche 1, corso propedeutico: calcolo differenziale e integrale in una variabile, primi elementi di algebra lineare in R^2.

James Stewart “Calcolo - Funzioni di più variabili”, Ed. Maggioli
oppure un testo universitario a scelta, ad esempio:
R. Adams “Calcolo Differenziale 2, (funzioni di più variabili)”, quarta edizione, ed. Ambrosiana
Bramanti-Pagani-Salsa: "Calcolo infinitesimale e algebra lineare", Seconda edizione, ed. Zanichelli
G.B. Thomas, R.L. Finney “Analisi Matematica”, ed. Zanichelli

Il corso si compone di lezioni frontali ed esercitazioni, anche con l’uso del computer.
Nelle ore dedicate alle esercitazioni il docente propone alcuni esercizi e problemi, gli studenti hanno del tempo per risolverli da soli, poi si passa ad una discussione in aula, e infine, se necessario, il docente espone la soluzione per esteso alla lavagna.
Alcune lezioni prevedono l'uso del computer da parte degli studenti per la visualizzazione di curve e superfici.

La frequenza alle lezioni in presenza è obbligatoria

Il corso si compone di lezioni frontali ed esercitazioni, anche con l’uso del computer.
Nelle ore dedicate alle esercitazioni il docente propone alcuni esercizi e problemi, gli studenti hanno del tempo per risolverli da soli, poi si passa ad una discussione in aula, e infine, se necessario, il docente espone la soluzione per esteso alla lavagna.
Alcune lezioni prevedono l'uso del computer da parte degli studenti per la visualizzazione di curve e superfici.