FS430 - Teoria dei Campi e Gravità

Gli argomenti contrassegnati con ``*'' sono assegnati come problemi da svolgere autonomamente, come alternativa all'esame orale.

§ La gravità come teoria di campo di spin due auto-interagente
Isometrie dello spazio-tempo piatto. Trasformazioni di Lorentz e gruppo di Poincaré. Teoremi di decomposizione e boost standard. Contrazioni: limiti galileiano e di Carroll. Simmetrie: globali e locali. Elementi di algebre di Lie. Teorema di Noether e leggi di conservazione. Tensori canonici di energia-impulso e momento angolare. Correnti non canoniche: improvements e loro rilevanza per gli accoppiamenti. Argomento di Belinfante: Tensore energia-impulso simmetrico e tensore del momenti. Invarianza di scala e tensore di energia-impulso a traccia nulla. Particelle e campi in Relatività Speciale. Rappresentazioni irriducibili del gruppo di Poincaré: metodo delle rappresentazioni indotte di Wigner. Particelle prive di massa: gruppo piccolo ISO(D−2) e invarianza di gauge*. Ricostruzione della Relatività Generale: unicità della lagrangiana quadratica. Metodo di Noether e completamenti non lineari. Costruzione di Noether della lagrangiana di Yang-Mills*. Vertice cubico gravitazionale trasverso e senza traccia. Principio di equivalenza di Weinberg. Spin e segno delle forze statiche*.

§ Isometrie e spazi massimamente simmetrici
Derivata di Lie e isometrie. Parentesi di Lie. Vettori di Killing conformi. Tensori di Killing. Condizione di integrabilità per i vettori di Killing. Numero massimo di isometrie. Spazi omogenei e isotropi. Teorema di struttura degli spazi massimamente simmetrici. Spazi massimamente simmetrici come soluzioni di vuoto delle equazioni di Einstein-Hilbert con costante cosmologica. Costruzione mediante immersione in spazi pseudo-lorentziani di dimensione (D+1): metrica e simboli di Christoffel. Spazi conformemente piatti. Lo spazio anti-de Sitter nella patch di Poincaré. Tensore di Weyl. Tensori di Riemann e di Weyl in varie dimensioni: conteggio delle componenti delle rappresentazioni irriducibili di GL(D) e O(D). Trasformazioni conformi del tensore metrico. Campi scalari con accoppiamento conforme alla metrica*.

§ Elementi di geometria differenziale
Spazi topologici. Varietà differenziabili. Diffeomorfismi. Spazi tangenti e vettori. Basi coordinate. Operatori di derivazione sulle varietà. Forme differenziali: definizione, prodotto wedge, derivata interna ed esterna, formula di Cartan per la derivata di Lie, duale di Hodge. Integrazione. Teorie di Maxwell e di Yang-Mills nel linguaggio delle forme differenziali. Teorema di Stokes.

§ Buchi neri
Spazi sfericamente simmetrici. Soluzione di Schwarzschild. Teorema di Birkhoff (dimostrazione parziale). Singolarità: definizioni e criteri; singolarità di curvatura e incompletezza geodetica. Coordinate della tartaruga. Estensione di uno spazio-tempo. Coordinate di Eddington-Finkelstein. Orizzonti degli eventi, buchi neri e buchi bianchi. Coordinate di Kruskal-Szekeres. Estensione massimale della soluzione di Schwarzschild. Diagramma di Kruskal e buchi neri eterni. Soluzione di Reissner-Nordström. Spazio-tempo di Schwarzschild-(A)dS*. Orizzonti di Killing. Soluzione di Kerr.

§ Diagrammi conformi
Compattificazioni conformi e struttura causale. Diagrammi di Penrose degli spazi di Minkowski, Schwarzschild, Reissner-Nordström e Kerr. Collasso di gusci sferici di radiazione e materia. Spazi (anti-)de Sitter*.

§ Energia gravitazionale
Quantità conservate nelle teorie di gauge: l'esempio della teoria di Yang-Mills. Conservazione covariante e conservazione ordinaria. Metriche asintoticamente piatte. Pseudotensore energia-impulso gravitazionale. Superpotenziale. Energia e quantità di moto ADM. Energia ADM della soluzione di Schwarzschild. Teorema dell'energia positiva (senza dimostrazione). Vettori di Killing e integrali di Komar. Radiazione di quadrupolo*.

§ Formulazione di Cartan-Weyl e accoppiamenti fermionici
Sistemi di riferimento localmente inerziali. Campo di tetradi (frame field) e sua relazione con il tensore metrico. Basi non coordinate. Trasformazioni locali di Lorentz. Connessione di spin. Postulato del vielbein. Vincolo di torsione e formulazione del secondo ordine. Tensore di contorsione. Curvatura della connessione di Lorentz locale. Materia fermionica minimamente accoppiata. Lagrangiana di Dirac su varietà curve. La gravità come teoria di Yang-Mills dell'algebra di Poincaré. Trasformazioni locali di Poincaré. Torsione e curvatura associate all'algebra di Poincaré. Problemi delle azioni quadratiche. Formulazione del primo ordine e azione di Weyl.

Relatività Speciale. Elettromagnetismo. Il principio di equivalenza. Tensori sotto trasformazioni generali di coordinate. Trasporto parallelo e simboli di Christoffel. Derivate covarianti e compatibilità metrica. Geodetiche. Tensore di curvatura di Riemann. Azione di Einstein-Hilbert ed equazioni del moto. Accoppiamento minimale a campi scalari ed elettromagnetici. isometrie ed equazione di Killing.

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Lezioni frontali alla lavagna.

In presenza. Per studenti lavoratori è prevista la partecipazione a distanza nonché la messa a disposizione delle registrazioni, per un periodo di una settimana a decorrere dallo svolgimento della lezione.

La valutazione dell'apprendimento è effettuata mediante esame orale. In alternativa, lo studente può scegliere di svolgere i problemi assegnati durante il corso e consegnarne le soluzioni raccolte in un unico elaborato. In questo caso, la valutazione si basa sia sulla qualità dell'elaborato sia su una discussione orale dello stesso, finalizzata a verificare la padronanza degli argomenti trattati e la capacità di collegare i diversi aspetti della teoria.